Андрей Николаевич учился в МГУ, прошел курс морфологии позвоночных у зоолога и орнитолога Феликса Дзержинского (внук советского политического деятеля Ф.Э. Дзержинского), участвовал в многочисленных экспедициях: посетил Дальний Восток, Чукотку, Байкал, Приполярный Урал, Среднюю Азию. Квашенко также работал в Центральной исследовательской лаборатории, которая существовала при 4-м Медицинском управлении, Дарвинском музее. В школе он работал с 1991 года.
"Обычно на такой вопрос я отвечаю очень коротко – любимая игрушка. Я никогда не относился к преподаванию всерьез, никогда не относился к школе как к месту, где я зарабатываю деньги… Это не значит, что я в нее не вкладываюсь, ведь люди сильнее всего вкладываются как раз в игрушки. Вот то место, где люди обеспечивают свое материальное существование, – это уже никакая не игрушка, это всерьез. А 1543 – да я здесь даром работать буду! Почему? Мне это интересно. Я вижу отдачу. Я вижу, что получается. Да идей еще полным-полно, которые здесь можно вполне реализовать", - так о своей работе говорил Андрей Квашенко.