Алексей Веселкин окончил Театральное училище имени Щукина в 1983 году. Сразу после выпуска поступил в труппу РАМТа (на тот момент Центрального детского театра). За 42 года службы в театре актер сыграл более 60 ролей, среди которых ведущие роли Фамусова в спектакле "Горе от ума", Сильвио в "Выстреле" и многие другие. Также он стал режиссером постановки "Волшебник Изумрудного города".
Еще в студенческие годы Веселкин начал работать на телевидении – он вел детские программы "Будильник", "Детский час" и "До 16 и старше", а потом музыкальную передачу "50х50". Кроме того, он стал одним из первых ведущих телепрограммы "Магазин на диване", а также много лет работал ведущим на радио "Маяк".